Dos jóvenes científicas aficionadas a las matemáticas han conseguido lo que los expertos consideraban casi imposible: demostrar el famoso teorema de Pitágoras (a² + b² = c²) utilizando la trigonometría varias veces. Sus resultados se publicaron en la revista American Mathematical Monthly.
El quid de la cuestión: la trigonometría es una rama de la geometría, y sus fórmulas básicas se basan en la suposición de que el teorema de Pitágoras es cierto. Por tanto, existe el riesgo de que se produzca un razonamiento circular, es decir, una demostración en la que lo que se pretende demostrar es ya una presuposición.
Según la editora encargada de la publicación, los matemáticos profesionales solo han conseguido demostrarlo dos veces sin razonamiento circular. Además, hay cientos de otras pruebas del teorema milenario procedentes de otras disciplinas matemáticas, como el álgebra.
¿En qué consiste el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras es probablemente una de las pocas fórmulas que mucha gente aún tiene en algún lugar de su mente de sus lecciones escolares. Trata de la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos (a y b) adyacentes al ángulo recto es igual al cuadrado de la hipotenusa (c), que está opuesta al ángulo de 90 grados. Por lo tanto, puedes calcular la longitud de cualquier lado de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados.
“El teorema de Pitágoras combina el álgebra –es decir, el cálculo con números y variables– y la geometría –es decir, el dibujo y la medición–”, explica Mario Gerwig, autor del libro El teorema de Pitágoras en 365 pruebas. Una gran colección del estadounidense Elisha Scott Loomis (1852-1940), con más de 370 pruebas, contiene exclusivamente pruebas algebraicas y geométricas.
Las nuevas pruebas
En su trabajo recientemente publicado, los autores Calcea Johnson y Ne’Kiya Jackson han presentado cinco formas de demostrar el teorema utilizando la trigonometría. Además, hay un método que permite otras cinco demostraciones. A grandes rasgos, han creado varios triángulos rectángulos nuevos con dimensiones angulares específicas a partir de un triángulo rectángulo ABC.
A las dos se les ocurrió la idea cuando eran colegialas, en 2022, durante un concurso de matemáticas en su instituto de Estados Unidos. Una de las preguntas consistía en crear una nueva demostración del teorema de Pitágoras.
“500 dólares en premios nos motivaron a emprender esta tarea”, escriben. “La tarea resultó ser mucho más difícil de lo que habíamos imaginado inicialmente, y pasamos muchas noches hasta tarde intentando y fracasando en la creación de una demostración”.
Las adolescentes sacrificaron su tiempo libre por el proyecto durante varios meses, incluso trabajando en él durante sus vacaciones. “Hubo muchos momentos en los que las dos quisimos abandonar el proyecto, pero decidimos perseverar y terminar lo que habíamos empezado”. Al final, según el editor, el proyecto recibió premios e incluso elogios de la ex primera dama Michelle Obama. Y ahora una publicación científica con nuevas pruebas.
Kiya Jackson (izq.) y Calcea Johnson (der.), jóvenes apasionadas por las matemáticas, lograron demostrar el teorema de Pitágoras usando trigonometría, algo que se creía imposible en la comunidad científica.Kiya Jackson (izq.) y Calcea Johnson (der.), jóvenes apasionadas por las matemáticas, lograron demostrar el teorema de Pitágoras usando trigonometría, algo que se creía imposible en la comunidad científica.
¿Por qué nuevas pruebas? ¿No basta con una?
El teorema de Pitágoras ha ejercido una asombrosa atracción sobre personas de todas las culturas durante muchos siglos, señaló el experto Gerwig. “Hay pruebas de la antigua Grecia, la antigua China y la India, de artistas y filósofos, profesionales y aficionados a las matemáticas, de Euclides, da Vinci, Leibniz, Einstein y Garfield, el vigésimo presidente de EE. UU.”.
Básicamente, basta una sola prueba para demostrar la corrección de un teorema de una vez por todas. Entonces, ¿por qué tanto bombo? “Para un matemático, una demostración no solo debe ser correcta, sino también bella, es decir, elegante, concisa y lo más ingeniosa posible. No solo debe ser convincente, sino, en el mejor de los casos, abrir una visión diferente de los hechos demostrados y renovar así la idea de lo que son las matemáticas”.
El hecho de que el teorema de Pitágoras se examinara desde distintos ángulos es un tesoro para todo matemático. “Para las clases de matemáticas de hoy en día, la colección ofrece una oportunidad real de abordar el tema de la demostración de tal manera que no solo se pueda ver claramente un único producto de demostración, sino más bien el proceso de demostración y, por tanto, en qué consiste realmente la demostración en matemáticas.”
Señal especial
En opinión de Gerwig, el hecho de que las dos autoras hayan encontrado nuevas pruebas trigonométricas no es necesariamente fundamental, sino más bien que se hayan formulado nuevas pruebas, especialmente por parte de dos escolares.
“Estoy muy orgullosa de que ambas podamos ejercer una influencia tan positiva”, explica Johnson, la coautora. Las dos autoras han demostrado que las jóvenes son capaces de hacerlo y “hacen saber a otras jóvenes que pueden hacer todo lo que se propongan”.
Johnson estudia ahora ingeniería medioambiental en la Universidad Estatal de Luisiana, mientras que Jackson estudia farmacia en la Universidad Xavier de Luisiana.
Tomado de American Mathematical Monthly
